Motywacja

Okazuje się, że Słońce nie porusza się w ciągu roku po ekliptyce ze stałą prędkością. Wynika to głównie z dwóch czynników: nachylenia ekliptyki oraz ekscentryczności orbity Ziemi. Ponieważ zegary nie są w stanie mierzyć zmiennego czasu, wprowadzono pojęcie Słońca średniego (ang. mean Sun), czyli punktu, który porusza się po równiku niebieskim ze stałą prędkością, zakreślając kąt $360\degree$ w ciągu roku zwrotnikowego (od równonocy do równonocy). Kąt godzinny Słońca średniego to czas wskazywany przez nasze zegarki (minus $12^h$ bo $h=0^h$ w chwili górowania). Różnicę między kątem godzinnym Słońca średniego (MS) i Słońca prawdziwego (TS - od true Sun), czyli między czasem Słonecznym średnim a prawdziwym wyraża równanie czasu: $$ \boxed{\tau=h_{MS}-h_{TS}.} $$ W tym artykule wyprowadzimy przybliżone równanie czasu dla Ziemi, zakładając, że zarówno nachylenie ekliptyki, jak i ekscentryczność orbity są na tyle małe, że zezwalają na pewne przybliżenia, które znacznie uproszczą wzory. Wcześniej jednak, przekształcimy równanie czasu korzystając z zależności $\Theta=\alpha+h$, gdzie $\Theta$ to lokalny czas gwiazdowy, a $\alpha$ to rektascencja obiektu o kącie godzinnym $h$: $$ \tau=\alpha_{TS}-\alpha_{MS}. $$

Wkład nachylenia ekliptyki

Korzystając z prostokątego trójkąta sferycznego przedstawionego schematycznie na powyższym rysunku, koła Napiera i reguły SIN-TAAD, otrzymujemy zależność $$ \cos\varepsilon=\cot\lambda_{TS}\tan\alpha_{TS} \rightarrow \alpha_{TS}=\arctan\left(\cos\varepsilon\tan\lambda_{TS}\right), $$ gdzie $\varepsilon$ oznacza nachylenie ekliptyki, a poprzez $\lambda$ będziemy oznaczać zawsze długość ekliptyczną (mierzoną od punktu Barana, w tym samym kierunku, co rektascensja).

$\varepsilon=23\degree 26’$, a $\cos$ tego kąta jest bardzo bliski $1$. Możemy zapisać więc $\cos\varepsilon$ jako $1-\delta$, gdzie $\delta$ jest małą liczbą. W ogólnym przypadku: $$ \arctan((1-\delta)x)=\arctan(x-x\delta), $$ a poniewaz $\delta\ll 1$, to $x\delta \ll x$, więc możemy przybliżyć wyrażenie jako $$ \arctan(x-x\delta)\approx \arctan x- x\delta\frac{d}{dx}(\arctan x). $$ Pochodna to $1/(1+x^2)$, więc $$ \arctan((1-\delta)x)\approx \arctan x- \frac{x\delta}{1+x^2}. $$ U nas $1-\delta=\cos\varepsilon$, skąd $\delta=1-\cos\varepsilon$, a $x=\tan\lambda_{TS}$, więc $$ \arctan(\cos\varepsilon\tan\lambda_{TS})= \lambda_{TS}-(1-\cos\varepsilon) \frac{\tan\lambda_{TS}}{1+\tan^2\lambda_{TS}}, $$ a korzystając z tożsamości pitagorejskiej $1+\tan^2 x=\sec^2 x$, rozpisując tangens i skracając, mamy $$ \lambda_{TS}-(1-\cos\varepsilon) \sin\lambda_{TS}\cos\lambda_{TS}. $$ Z tożsamości trygonometrycznej $\sin x\cos x= \frac{1}{2}\sin 2x$, mamy $$ \alpha_{TS}\approx \lambda_{TS}- \frac{1-\cos\varepsilon}{2}\sin 2\lambda_{TS}. $$

Wkład ekscentryczności

Wkład ekscentryczności objawia się faktem, że długość ekliptyczna Słońca prawdziwego nie rośnie jednostajnie.

Z powyższego rysunku widzimy, że $-\lambda_{TS}-(2\pi-\varpi)=\pi-f$, skąd $\lambda_{TS}=f+\varpi-\pi$ (znak minus przy $\lambda_{TS}$, ponieważ jest to tak naprawdę kąt $2\pi-\lambda_{TS}$, ze względu na kierunek w którym zwiększa się długość ekliptyczna), gdzie $\varpi$ to długość peryhelium orbity Ziemi (kąt między kierunkiem do punktu Barana a kierunkiem do peryhelium), a $f$ to anomalia prawdziwa Ziemi. Punkt w ognisku elipsy to oczywiście Słońce.

Do wyznaczenia anomalii prawdziwej potrzebujemy anomalię mimośrodową $E$, którą możemy obliczyć rozwiązując równanie Keplera: $$ E-e\sin E=M, $$ gdzie $e$ to mimośród orbity Ziemi, a $M$ to anomalia średnia, która jest zdefiniowana jako $$ M = \frac{2\pi}{T_a}t_p, $$ gdzie $T_a$ to rok anomalistyczny, czyli czas od peryhelium do peryhelium, a $t_p$ to czas od ostatniego przejścia przez peryhelium. Możemy powiązać ją z rektascencją Słońca średniego, która dana jest wzorem $$ \alpha_{MS} = \frac{2\pi}{T_z}t, $$ gdzie $T_z$ to rok zwrotnikowy (od równonocy wiosennej do równonocy wiosennej), a $t$ to czas od ostatniej równonocy wiosennej. W naszym przypadku możemy założyć, że $T_z\approx T_a=T$. Możemy wtedy zapisać $$ M = \frac{2\pi}{T}t_p + \frac{2\pi}{T}t - \frac{2\pi}{T}t = \frac{2\pi}{T}(t_p-t)+\alpha_{MS}. $$ $t_p-t$ to czas, jaki mija między perygeum a równonocą. Z powyższego rysunku widzimy, że między perygeum a równonocą (która ma miejsce, gdy Ziemia jest po drugiej stronie Słońca od punktu Barana) Ziemia przebywa kąt $\pi+2\pi-\varpi=\pi-\varpi$. Zajmie jej to w przybliżeniu (zakładając stałą prędkość) $T(\pi-\varpi)/2\pi$, więc wstawiając to do wyrażenia na $M$: $$ M= \pi-\varpi+\alpha_{MS}. $$

Wracając do równania Keplera, przybliżymy jego rozwiązanie iteracją prostą. Ponieważ orbita Ziemi jest mało eliptyczna, czyli $e\approx 0$, możemy oszacować początkową wartość $E$ jako $$ E_0=M+e\sin E_0\approx M. $$ Pierwsza iteracja daje nam $$ E_1=M+e\sin M\approx E, $$ na czym przystaniemy, ponieważ będziemy pomijać wyrazy rzędu $O(e^2)$. Anomalię prawdziwą możemy wyznaczyć ze wzoru: $$ \sin f= \sqrt{1-e^2}\frac{\sin E}{1-e\cos E}. $$ Ponieważ pomijamy wyrazy rzędu $O(e^2)$, $\sqrt{1-e^2}\approx 1$, a drugi wyraz w mianowniku jest mały, więc możemy przybliżyć: $$ \sin f \approx \sin E(1+e\cos E) \rightarrow f=\arcsin\left((1+e\cos E)\sin E\right). $$ Z podobną sytuacją spotkaliśmy się wcześniej, lecz z tangensem. Postąpimy podobnie: $$ \arcsin\left((1+\delta)\sin{x}\right)\approx \arcsin\sin x + \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x}}\delta\sin x=x+ \frac{\delta\sin x}{\cos x}, $$ a u nas $x=E$ i $\delta=e \cos E$, więc $$ f \approx E + e\sin E. $$ Wstawiając $E(M)$: $$ f= M+e\sin M+e\sin\left(M+e\sin M\right). $$ Jeśli przybliżylibyśmy powyższego sinusa, otrzymalibyśmy wyrazy rzędu $O(e^2)$, więc pominiemy po prostu drugi wyraz w jego argumencie, co daje $$ f\approx M+2e\sin M. $$

Wracając do długości Słońca prawidzwego, mamy $$ \lambda_{TS}\approx \varpi+M+2e\sin M-\pi. $$

Przybliżona forma równania czasu

Wszystkie wyniki możemy wstawić teraz do równania czasu: $$ \tau \approx \varpi+M+2e\sin M-\pi- \frac{1-\cos\varepsilon}{2}\sin 2(\varpi+M+2e\sin M-\pi)-\alpha_{MS}. $$ Pamiętając, że $M=\alpha_{MS}-\varpi+\pi$, wiele wyrazów się skraca i upraszcza: $$ \tau= 2e\sin (\alpha_{MS}-\varpi) - \frac{1-\cos\varepsilon}{2}\sin 2(\alpha_{MS}+2e\sin M), $$ gdzie wszystkie kąty wyrażone są oczywiście w radianach (ze względu na stosowane przybliżenia). Ponieważ $e$ jest małe, możemy pominąć drugi wyraz wewnątrz drugiego sinusa: $$ \tau\approx 2e\sin (\alpha_{MS}-\varpi) - \frac{1-\cos\varepsilon}{2}\sin 2\alpha_{MS}. $$ Ostatecznie $\alpha_{MS}=2\pi t/T$, więc $$ \boxed{\tau = 2e\sin ( 2\pi\frac{t}{T}-\varpi) - \frac{1-\cos\varepsilon}{2}\sin \left(4\pi \frac{t}{T}\right).} $$ Wynik jest wyrażony w radianach, więc przekształcamy go na godziny mnożąc razy $12^h/\pi$.

Dla Ziemi $\varepsilon=23\degree 26’$, $e=0.0167$ (są małe, więc nasze przybliżenia będą prawidłowe), $\varpi = 283\degree$ oraz $T=365.25^d$. Jeśli wstawimy te dane do powyższego wzoru i zależność $\tau(t)$ umieścimy na wykresie, otrzymamy następujący rezultat:

Chwila $t=0$ odpowiada równonocy wiosennej, która ma przeważnie miejsce 80 dni po 1 stycznia, więc wykres został przesunięty tak, aby zaczynał się z początkiem roku.

Można również postąpić na odwrót: w ciągu roku prowadzić obserwacje równania czasu, a następnie przeprowadzić transformację Fouriera otrzymanej funkcji - możemy wyznaczyć wtedy $e$, $\varepsilon$ oraz $\varpi$.