Naszym celem jest wyznaczenie aktualnej rektascensji i deklinacji węzłów Księżyca na podstawie zdjęcia Księżyca z widocznymi gwiazdami. Wiele takich obserwacji w ciągu roku pozwoli wyznaczyć tempo precesji węzłów Księżyca.

Wyznaczanie współrzędnych ekliptycznych Księżyca

Mając dane współrzędne Księżyca, $(\alpha, \delta)$ i nachylenie ekliptyki $\varepsilon$, możemy wyznaczyć współrzędne równikowe Księżyca w układzie współrzędnych ekliptycznych, korzystając z trójkąta sferycznego przedstawionego (schematycznie) na poniższym rysunku.



BN - biegun niebieski, BE - biegun ekliptyczny

Z twierdzenia cosinusów: $$ \sin\beta=\cos\varepsilon\sin\delta-\sin\varepsilon\cos\delta\sin\alpha, $$ a z twierdzenia sinusów: $$ \cos\lambda= \frac{\cos\alpha \cos\delta}{\cos\beta}. $$

Wyznaczanie współrzędnych ekliptycznych węzłów

Orbita Księżyca, która zakładamy, że jest w przybliżeniu kołowa ($e\approx 0.0549$), jest nachylona pod kątem $i$ do ekliptyki. Naszym celem jest wyznaczenie $\lambda_w$ (węzła wstępującego). Z koła Napiera dla prostokątnego trójkąta sferycznego schematycznie przedstawionego na powyższym rysunku mamy: $$ \sin(\lambda-\lambda_w)=\cot{i}\tan{\beta}, $$ co wystarcza do obliczenia $\lambda_w$ znając $\lambda$, $\beta$ oraz $i$. Węzeł zstępujący będzie miał oczywiście współrzędną $\lambda_w+180\degree$. Szerokość ekliptyczna obu węzłów to z definicji $\beta=0\degree$.

Korzystając z trójkąta sferycznego z wcześniejszego rysunku, możemy wyznaczyć rektascensję i deklinację węzłów. Z twierdzenia cosinusów: $$ \sin\delta_w=\cos\varepsilon\sin\beta_w+\sin\varepsilon\cos\beta_w\sin\lambda_w, $$ co po wstawieniu $\beta=0\degree$ daje $$ \sin\delta_w=\sin\varepsilon\sin\lambda_w, $$ a z twierdzenia sinusów: $$ \cos\alpha_w=- \frac{\cos\lambda_w\cos\beta_w}{\cos\delta_w}=- \frac{\cos\lambda_w}{\cos\delta_w}. $$ Dla węzła zstępującego podstawiamy $\lambda_w\rightarrow \lambda_w+180\degree$, co daje nam $$ \sin\delta_z=-\sin\delta_w, $$ więc $\delta_w=-\delta_z$ oraz $$ \cos\alpha_z=-\cos\alpha_w, $$ więc $\alpha_z=\alpha_w+180\degree$, zatem jest on dokładnie po przeciwnej stronie sfery niebieskiej.

Obserwacje

Powyżej znajduje się zdjęcie, na którego podstawie wyznaczamy współrzędne Księżyca oraz jego przybliżony fragment. Na zdjęciu widzimy m. in. Plejady (M45) - bardzo blisko Księżyca, Byka, Oriona, Woźnicę, Wieloryba, fragment Perseusza. Znaleziono 2 pary gwiazd, takie, że jeśli poprowadzimy przez nie prostą, to przechodzi ona w dobrym przybliżeniu przez środek tarczy Księżyca. Ich przecięcie w atlasie będzie wtedy punktem o szukanych współrzędnych równikowych.

Wyznaczając współrzędne pogrubionego punktu na powyższym zdjęciu otrzymujemy: $$ (\alpha, \delta)=(3^h37^m, 24\degree 20’), $$ co daje praktycznie idealną zgodność w porównaniu z danymi z programu Stellarium.

Korzystając ze wcześniejszych wzorów wyznaczamy współrzędne ekliptyczne Księżyca: $$ (\lambda, \beta)=(57\degree 43’, 4\degree 49’), $$ gdzie przyjąłem $\varepsilon=23\degree 26’$.

Przyjmując $i=5\degree 09’$, mamy: $$ \lambda_w=348\degree 23’ $$ i przekształcając układy współrzędnych: $$ \boxed{(\alpha_w, \delta_w)=(23^h 17^m, -4\degree 35’),} $$ gdzie wzięliśmy wartość funkcji $\arccos$ plus $180\degree$, aby być w odpowiedniej ćwiartce układu współrzędnych. Mamy również: $$ \boxed{(\alpha_z, \delta_z)=(11^h 17^m, 4\degree 35’).} $$ Porównując to ze współrzędnymi Księżyca, kiedy ostatni raz znalazł się w węźle (dane z programu Stellarium), różnica w rektascensji to około $10’$, a w deklinacji $1\degree$. Tak duża rozbieżność w deklinacji może wynikać np. z przybliżenia orbity Księżyca jako okręgu, co nie jest prawdą i może wprowadzić taką niedokładność do obliczeń. Efekt precesji węzłów nie powinien grać tutaj bardzo dużej roli, biorąc pod uwagę krótki czas od ostatniego węzła oraz to, że wpływa on o wiele znaczniej na rektasencję węzłów.