Rozważmy kulę wykonaną z dielektryka liniowego o względnej przenikalności $\varepsilon_r$ i promieniu $R$. W środku kuli zostaje umiejscowiony dipol o momencie $\mathbf{p}$. Chcemy wyznaczyć potencjał w środku i na zewnątrz kuli.

Poprzez $V_z$ oznaczamy potencjał zewnętrzny, a $V_w$ wewnętrzny.

Rozpoczniemy od zadania warunków brzegowych. Jedynym źródłem potencjału jest kula, więc w nieskończoności potencjał powinien zanikać: $$ r\to \infty\implies V_{z}\to 0. $$

Potencjał musi być również ciągły na powierzchni kuli: $$ V_{z}(R)=V_{w}(R). $$

Chcemy również, aby na powierzchni kuli było spełnione prawo Gaussa: $$ \oint_\mathcal{S}\mathbf{D}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS=Q_{sw}, $$ a ponieważ jedyne ładunki swobodne w układzie wchodzą w skład dipola, na powierzchni kuli możemy mieć tylko ładunki związane. Z tego powodu $$ \oint_\mathcal{S}\mathbf{D}\cdot \hat{\mathbf{n}}\,dS=0, $$ gdzie $\mathcal{S}$ to powierzchnia pudełka Gaussa znajdującego się częściowo wewnątrz i częściowo na zewnątrz kuli. Ponieważ jest to dielektryk liniowy, $\nabla\times\mathbf{P}=0$, a zatem również $\nabla\times\mathbf{D}=0$, więc nie musimy martwić się składową $\mathbf{D}$ styczną do powierzchni kuli. Jeśli uczynimy pudełko Gaussa bardzo małym, warunek przybiera postać $$ D_{wew}(R)=D_{zew}(R). $$ Pamiętając, że $D=\varepsilon E$, a $E=\frac{\partial V}{\partial n}=\frac{\partial V}{\partial r}$ (bo $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{r}}$), otrzymujemy $$ \varepsilon_r \left.\frac{\partial V_w}{\partial r}\right|_R =\left.\frac{\partial V_z}{\partial r}\right|_R, $$ ponieważ wewnątrz $\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$, a na zewnątrz $\varepsilon=\varepsilon_0$.

Pozostaje nam wziąć pod uwagę obecność dipola wewnątrz kuli. Wyznaczmy najpierw gęstość ładunku związanego w zależności od gęstości ładunków swobodnych. Z definicji mamy $$ \rho_{zw}=-\nabla\cdot\mathbf{P}. $$ W dielektrykach $$ \mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e \mathbf{E}=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\mathbf{E}=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\frac{\mathbf{D}}{\varepsilon_0\varepsilon_r}=\mathbf{D}\left(\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\right),$$ więc $$ \rho_{zw}=-\left(\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\right)\nabla\cdot\mathbf{D}=-\left(\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\right)\rho_{sw}.$$

Widzimy zatem, że dwa ładunki wchodzące w skład dipola $\mathbf{p}$ wyindukują w swoich położeniach ładunki o przeciwnych znakach i mniejsze o czynnik w powyższym wzorze. Dwa wyindukowane ładunki wytworzą związany moment dipolowy: $$ \mathbf{p}_{zw}=-\mathbf{p}\left(\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\right). $$ Całkowity moment dipolowy wewnątrz kuli to $$ \mathbf{p}_c=\mathbf{p}+\mathbf{p}_{zw}=\frac{1}{\varepsilon_r}\mathbf{p}. $$

Przejdźmy do wyznaczenia potencjału. Wiemy, że potencjał wewnątrz kuli w najogólniejszej postaci to $$ V_{wew}=\sum_{l=0}^\infty \left(A_l r^l +\frac{B_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta). $$ Osobliwość potencjału w $r=0$ nie może pochodzić od powierzchniowych ładunków związanych, a tylko i wyłącznie od całkowitego momentu dipolowego. Dlatego wszystkie człony potencjału, dla których potęga $r$ jest mniejsza od $0$ muszą pochodzić tylko od dipola. Potencjał dipola to $$ V_{dip}=\frac{p_c\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon r^2}, $$ więc widzimy, że $$ B_l=\begin{cases} 0\text{, jeśli } l\neq 1 \\ \frac{p}{4\pi\varepsilon}\text{, jeśli } l=1. \end{cases} $$

Potencjał na zewnątrz kuli jest podobnie opisany równaniem $$ V_{zew}=\sum_{l=0}^\infty \left(C_l r^l +\frac{D_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta). $$ Ponieważ $V\to 0$ jak $r\to\infty$, $C_l=0$ dla wszystkich $l$.

Rozpatrzmy przypadek $l\neq 1$. Warunek ciągłości potencjału daje nam ($B_l=0$ dla $l\neq 1$): $$ \frac{D_l}{R^{l+1}}=A_l R^l, $$ a warunek wynikający z prawa Gaussa $$ -\frac{D_l(l+1)}{R^{l+2}}=\varepsilon_r A_l lR^{l-1}. $$ Pierwsze z równań daje nam $$ D_l=A_l R^{2l+1}, $$ a drugie $$ D_l=-\varepsilon_r A_l \frac{l}{l+1} R^{2l+1}. $$ Ponieważ $R,l, \varepsilon_r>0$, pierwsze równanie oznacza, że $A_l$ i $D_l$ mają ten sam znak, a równanie drugie, że mają przeciwny. Obywda warunki oczywiście mogą być spełnione jedynie, gdy $D_l=A_l=0$.

Rozważmy teraz przypadek $l=1$. Warunek ciągłości: $$ \frac{D_1}{R^{2}}=A_1 R+\frac{p}{4\pi\varepsilon R^2}\rightarrow D_1=A_1R^3+\frac{p}{4\pi\varepsilon}. $$ Warunek prawa Gaussa: $$ -\frac{2D_1}{R^3}=\varepsilon_r A_1-\frac{2p\varepsilon_r}{4\pi\varepsilon R^3}\rightarrow D_1=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0}-\frac{A_1\varepsilon_r R^3}{2}.$$ Z równań tych dostajemy $$ A_1=\frac{2p}{4\pi\varepsilon R^3}\left(\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2}\right) $$ oraz $$ D_1=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{3}{\varepsilon_r+2}\right). $$

Ostatecznie, potencjał wewnątrz kuli to dla $r\le R$: $$ V=\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon r^2}\left[1+\frac{2r^3}{R^3}\left(\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2}\right)\right], $$ a dla $r\ge R$: $$ V=\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\left(\frac{3}{2+\varepsilon_r}\right). $$